对于单变量实值函数而言， f:(a,b)→R 在 x0 处可微，那么
limx→x0(f(x)−f(x0))=limx→x0(f(x)−f(x0)x−x0)⋅(x−x0)=f′(x0)⋅limx→x0(x−x0)=f′(x0)⋅0=0
所以 limx→x0(f(x)−f(x0))=0 ，这就意味着 f 在x0处连续。
这些想法可以推广到更一般的情况： f:A⊂Rn→Rm ，从而引出下面的定理。
定理3 假设 A⊂Rn 是开集且 f:A→Rm 在 A 上可微，那么f是连续的。事实上，对于每个 x0∈A 存在一个常数 M>0,δ0>0 使得 ∥x−x0∥<δ0 意味着 ∥f(x)−f(x0)∥≤M∥x−x0∥ 。(这就是利普希茨(Lipschitz)性质)
前面我们讨论的都是实值函数的特殊情况， f:Rn→R ，函数 c:R→Rm 也是重要的，这里的 c 表示Rm中的曲线或路径，这种情况下 Dc(t):R→Rm 用向量
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜dc1dt⋅⋅⋅dcmdt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
表示，其中 c(t)=(c1(t),…,cm(t)) 。这个向量用 c′(t) 表示并称为曲线的切向量或速度向量，如果注意到 c′(t)=limh→0(c(t+h)−c(t))/h 并利用事实： [c(t+h)−c(t)]/h 是近似曲线切线的一条弦，那么我们将看到 c′(t) 应该表示精确的且向量(如图1)。 用移动的质点来说的话， (c(t+h)−c(t))/h 是速度的近似，因为它是位移/时间，所以 c′(t) 是瞬时速度。
严格来讲我们应该讲 c′(t) 表示成列向量，因为矩阵 Dc(t) 矩阵是一个 3×1 矩阵。然而这样的话排版比较麻烦，所以我们以后写 c′(t) 时表示行向量。
例1： 证明 f:R→R,x↦|x| 是连续的但在0处不可微。
解： 对于 x≥0,f(x)=x ，对于 x<0,f(x)=−x ，所以 f 在(0,∞),(−∞,0)上是连续的。因为 limx→0f(x)=0=f(0) ，那么 f 在0处也是连续的，所以f在所有点处均连续。最后， f 在0处不可微，因为如果可微的话，那么
limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0f(x)x
将会存在，但是当 x>0 时， f(x)/x 为+1，当 x<0 时， f(x)/x 为-1，从而极限不可能存在。
图1
例2： 函数的导数一定连续吗？
解： 答案为否，但是实例不是很明显。也许最简单的例子是
f(x)={x2sin(1x),0,x≠0x=0
如图2所示。
为了证明零处不可微，我们需要说明
当x→0时,f(x)x→0
事实上，当 x→0 时 |f(x)/x|=|xsin(1/x)|≤|x|→0 ，从而 f′(0) 存在且是零，故 f 在0处可微。接下来，根据基本微积分内容
f′(x)=2xsin(1x)−cos(1x),x≠0
当 x→0 时第一项 →0 但是第二项在 +1,−1 之间震荡，所以 limx→0f′(x) 不存在，从而 f′ 存在但是不连续。
图2
例3： 令 c(t)=(t2,t,sint) ，找出 c(t) 在点 c(0)=(0,0,0) 处的切向量。
解： c′(t)=(2t,1,cost) ，令 t=0,c′(0)=(0,1,1) ，即 c(t) 在点 (0,0,0) 处的切向量。