漫步数学分析二十九——幂级数

本篇文章我们介绍无限级数的相关理论，我们先从幂级数开始。

定义5 幂级数就是形如 Σ∞k=0akxk 的级数，其中系数 ak 是固定的实(或虚)数，令

limk→∞sup|ak|−−−√k=1R

R 称为幂级数的收敛半径，{x||x|=R}是收敛圆( x 可能是实数或虚数)。

注意0≤R≤+∞； R 可能是零或∞。定义5中的术语因此下面的结论。

定理15 对 |x|<R,Σ∞k=0akxk 绝对收敛，对 |x|≤R′ ，级数一致收敛，其中 R′<R ，如果 |x|>R ，那么级数发散。(如果 |x|=R 的话，该定理没有给出任何信息)

这些收敛性由 R 唯一确定。

推论4 幂级数的和是其收敛圆内的 C∞ 函数，它可以逐项微分并且微分级数有相同的收敛半径。

这个证明充分利用了前面级数逐项微分的结论。

如果 limn→∞|an/an+1| 存在，那么它的极限是 R ，也就是收敛半径。通过利用定理15以及比率测试可以很容易看出这个结果。

接下来我们讨论Cesaro求和的概念。

定义6 令

Sn=∑k=1nak,σn=1n∑k=1nSk;

所以 σn 是前 n 项部分和级数的算术平均，注意公式

σn=∑k=1n(1−k−1n)ak

如果 limn→∞σn=A ，那么级数 Σ∞k=1ak 就称为Cesaro 1-求和或 (C,1) 求和为 A ，此时我们写作

∑k=1∞ak=A(C,1)

这里的想法是知道一些方法可以在向不同的发散级数上附加新的意义，例如

12=1−1+1−1+⋯(C,1)

这里 Sn=1,0,1,0,…

Tn=∑k=1nSk=1,1,2,2,3,3,…

因此 σ2n=n/2n,σ2n+1=n+1/(2n+1) ，所以 limn→∞σn=1/2 。

然而，通过平均 σn ，我们可以引入更强有力的求和方法，就像 (C,1) 方法那样，它是基于平均 Sn 。也就是说，我们将给定的级数 (C,2) 和定义为 limn→∞(σ1+σ2+⋯+σn)/n ，当然前提是极限存在。

至此，相信大家对于如何定义 (C,r) 和非常清楚了，下面给出 (C,1) 求和的一些基本性质。

1. 如果 Σak=A(C,1),Σbk=B(C,1) ，那么 Σ(αak+βbk)=αA+βB(C,1) 。
2. 如果 Σ∞k=1ak=A(C,1) ，那么 Σ∞k=1ak+1=A−a1(C,1) (截头)
3. 如果在通常情况下 Σ∞k=1ak=A ，那么 Σ∞k=1ak=A(C,1) 。

(iii) 的证明：我们有 Sn→A ，所以给定 B<A ，存在一个 n0 使得 n≥n0⇒Sn≥B ，接下来

σn=1n(S1+⋯+Sn0+Sn0+1+⋯+Sn)≥1n(S1+⋯+Sn0)+n−n0nB

因此 limn→∞infσn≥B 。因为 B<A 恒成立，所以 limn→∞infσn=A 。

同样的证明可以说明 limn→∞supσn≤A ，因此 limn→∞σn=A 。

接下里我们转到另一种求和方法，叫做阿贝尔求和(虽然它是由欧拉发明的)。

定义7 Σ∞k=0ak 在阿贝尔的意义下求和到 A ，如果limx→1−Σ∞k=0akxk=A。我们写作 Σ∞k=0ak=A (阿贝尔(Abel))。

例如，我们有

12=1−1+1−1+⋯(Abel)

因为对于 |x|<1,f(x)=1−x+x2−⋯=1/(1+x) ，当 x→1− 时它趋近于 →1/2 。

注意(至少这个例子中)阿贝尔方法与 (C,1) 方法的结果是一样的。事实上，我们会在后面看待，他们始终都是一样的。首先我们将证明阿贝尔求和是regular。

定理16 (阿贝尔) 如果 Σ∞k=0ak=A ，那么对于 |x|<1,Σ∞k=0akxk 收敛且 limx→1−Σ∞k=0akxk=A 。

因此如果一个幂级数在闭区间上手里拿，那么它的和是连续的，即便是端点处依然连续。

实际上阿贝尔方法比 (C,1) 方法更强。

定理17 Σ∞k=0ak=A(C,1) 意味着 Σ∞k=0ak=A (阿贝尔)。

有一个非常有趣的话题，那就是在什么条件下，Cesaro求和级数(或阿贝尔求和级数等等)在一般的意义下是收敛的，沿着这个思路我们给出G.H.Hardy的一个结论。

定理18 如果 Σan=A(C,1),an=O(1/n) (即，对于常数 M 以及充分大的n,|an|≤M/n)，那么 Σan 在一般意义下收敛(到 A )。

注意：上面的定理就是所谓的陶贝尔(Tauberian)定理。

例1：找出 Σxk,Σxk/k! 的收敛半径。

解： 我们利用公式

R=limn→∞∣∣∣anan+1∣∣∣

第一个例子给出 R=1 ，第二个给出

R=limn→∞((n+1)!n!)=limn→∞(n+1)=∞

因此，如果 |x|<1 ，那么 Σxk 收敛(收敛到 1/(1−x) )，对于所有的 x,Σxk/k! 收敛(收敛到 ex )。

例2： 说明 Σ∞k=1(−1)kk 不是可和的 (C,1) 。

解： 这里

an:Sn:Tn:σ2n:−1,+2,−3,+4,−5,+6,⋯−1,+1,−2,+2,−3,+3,⋯−1,0,−2,0,−3,0,⋯0,σ2n−1=−n2n−1→−12

所以 limn→∞σn 不存在。然而 (C,2) 和是 −1/4 。

例3： 说明 Σ∞k=1(−1)kk=−1/4 (阿贝尔)，这里

∑k=1∞(−1)kkxk=xddx∑(−1)kxk=xddx11+x=−x(1+x)2,|x|<1

当 x→1− 时上式趋近于 →−1/4 ，所以

∑k=1∞(−1)kk=−14(Abel)