文章目錄
- 卷積積分
-
- 1 信号的時域分解
- 2 任意信号作用下的零狀态響應
- 3 卷積積分
- 4 卷積積分的圖解法
- 5 卷積積分的代數性質
- 6 奇異函數的卷積特性
- 7 卷積的微積分性質
- 8 卷積的時移特性
- 9 常用的卷積重要公式
- 10 卷積的多種求解方法
- 11 用梳狀(comb)函數卷積産生周期信号
- 12 矩形脈沖的卷積産生三角形和梯形脈沖
(1) 預備知識
直覺看出
(2)任意信号分解
“0”号脈沖高度
f
(
)
f(0)
f(0), 寬度為
Δ
Δ
Δ，用
p
t
p(t)
p(t)表示為：
f(0)Δp(t)
f(0)Δp(t)
“1”号脈沖高度
f(Δ)
f(Δ),寬度為
−
p(t-Δ)
p(t−Δ)表示為：
f(Δ)Δp(t-Δ)
f(Δ)Δp(t−Δ)
“-1”号脈沖高度
f(-Δ)
f(−Δ),寬度為
Δ, 表示為
+
f (-Δ)Δp(t+Δ)
f(−Δ)Δp(t+Δ)
上式就是卷積運算
lim
Δ
→
：
Δ
→
d
τ
n
∑
∫
\lim\limits_{\Delta\rightarrow0}：\qquad\Delta\rightarrow d\tau\qquad n\Delta\rightarrow\tau\qquad \sum\rightarrow\int
Δ→0lim：Δ→dτnΔ→τ∑→∫
p
(
t
−
)
δ
p(t-n\Delta)\rightarrow\delta(t-\tau)
p(t−nΔ)→δ(t−τ)
信号先時域分解為沖激信号，再作用到系統。
注意是關于
t
t的函數
τ
\tau
τ是參變量
——與信号分解的過程互逆的，卷積是通過兩個函數和生成第三個函數的一種數學算子，且其中的函數不一定是沖激信号。
已知定義在區間
–
∞
,
(–∞,∞)
(–∞,∞)上的兩個函數
f
1
f_1(t)
f1(t)和
2
f_2(t)
f2(t)，則定義積分
為
f1(t)與
f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為
注意：積分是在虛設的變量
τ
τ下進行的，
τ為積分變量，
t為參變量。結果仍為
t的函數。(
t用來對
f_2
f2定位，
τ用來對全局進行積分)可演變其他上下限.
-
f
=
f
ε
∫
+
∞
f_1(t)=f_1(t)\varepsilon(t)：\int_{0}^{+\infty}
f1(t)=f1(t)ε(t)：∫0+∞
-
>
，
−
t
f_2(t)=f_2(t)\varepsilon(t)：t>\tau，\int_{-\infty}^t
f2(t)=f2(t)ε(t)：t>τ，∫−∞t
-
f_1(t)=\varepsilon(t)，f_2(t)=\varepsilon(t)：\int_{0}^t
f1(t)=ε(t)，f2(t)=ε(t)：∫0t
ε
：
>
\varepsilon(t)：t>0
ε(t)：t>0
卷積過程可分解為四步：
注意：
t為參變量。
=
/
，
h
f(t)=1/2，h(t)=t
f(t)=1/2，h(t)=t
第四個圖是的值是第三個圖形的對應區間的面積
說明：
（1）圖解法重在概念解釋，一般适用于簡單圖形；
（2）求某一時刻卷積值時比較友善；
（3）确定積分的上下限是關鍵
1 滿足乘法的三律：
2 複合系統的沖激響應
求解卷積的方法可歸納為：
(1)利用定義式，直接進行積分。對于容易求積分的
函數比較有效。如指數函數，多項式函數等。
(2)圖解法。特别适用于求某時刻點上的卷積值。
(3)利用性質。比較靈活。
三者常常結合起來使用。
卷積的時移特性
周期為
T
T
T的周期機關沖激函數序列，常稱為梳狀函數。
計算函數
f(t)
f(t)與
T
δ_T(t)
δT(t)的卷積：
卷積的結果:
依然是周期信号，其周期為
T。
讨論：
(1)當
T > τ
T>τ 時，
f_T (t)
fT(t)中每個周期内的波形與 f (t) 相
同；
(2)若
<
T < τ
T<τ 時，各相鄰脈沖之間将會出現重疊，将
無法使波形
f(t)在
fT(t)的每個周期中重制。
T>\tau：
T>τ：